Temat 1.9Standard CKE (Średnie)~20 minut nauki

Potęga o wykładniku wymiernym

Odkryjesz uniwersalny most łączący potęgi z pierwiastkami. Zobaczysz, że zamiana pierwiastków na potęgi ułamkowe pozwala rozwiązywać najtrudniejsze zadania maturalne jednym schematem.

Przejdź do:Kluczowe wzory CKE Teoria krok po kroku Pułapki egzaminacyjne Zadania maturalne (1)

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Potęga o wykładniku wymiernymKarta CKE str. 1

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m, \quad a > 0, \; m \in \mathbb{Z}, \; n \in \mathbb{N}, n \ge 2

Mianownik $n$ wykładnika określa stopień pierwiastka, a licznik $m$ potęgę.

Ujemny wykładnik wymiernyKarta CKE str. 1

a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}, \quad a > 0

Łączy odwracanie liczby z wyciąganiem pierwiastka.

Teoria i metodyka krok po kroku

Mianownik to stopień pierwiastka!

Wykładnik ułamkowy to po prostu elegancki zapis pierwiastka:

a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}

8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4

Zawsze opłaca się najpierw wyciągnąć pierwiastek, a dopiero potem potęgować wynik – liczby pozostają małe i łatwe do policzenia w pamięci!

Upraszczanie iloczynów z pierwiastkami

Gdy widzisz w zadaniu wyrażenie typu

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}

, natychmiast zamień je na potęgi o tej samej podstawie:

\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}

Uwaga na pułapki maturalne CKE

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

!
Potęga o wykładniku ułamkowym jest definiowana wyłącznie dla podstaw DODATNICH ( $a > 0$ ). Wyrażenia typu $(-8)^{\frac{1}{3}}$ nie rozpatrujemy jako potęgi wymiernej w szkole średniej.

Sprawdź swoją wiedzę

Zadania maturalne z tego tematu

1 zadanie z wyjaśnieniem

Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.

CKE Maj 2023 (Formuła 2023)Standard maturalny (Średnie)

Karta CKE str. 1: Potęga o wykładniku ułamkowym1 punkt

Liczba

16^{-\frac{3}{4}} \cdot 8^{\frac{2}{3}}

jest równa:

Poprzednia lekcja1.8 Notacja wykładnicza i wielkie liczby

Wróć do spisu działów

Następna lekcja1.10 Logarytmy i ich własności