NWD – Największy Wspólny Dzielnik Największa liczba naturalna, która dzieli bez reszty obie podane liczby.
Wzór / Zależność
NWD ( a , b ) = p 1 min ( α 1 , β 1 ) ⋅ p 2 min ( α 2 , β 2 ) … \text{NWD}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \cdot p_2^{\min(\alpha_2, \beta_2)} \dots NWD ( a , b ) = p 1 m i n ( α 1 , β 1 ) ⋅ p 2 m i n ( α 2 , β 2 ) … 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #nwd
NWW – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność Najmniejsza niezerowa liczba naturalna, która jest wielokrotnością obu liczb.
Wzór / Zależność
NWW ( a , b ) = a ⋅ b NWD ( a , b ) \text{NWW}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{NWD}(a, b)} NWW ( a , b ) = NWD ( a , b ) a ⋅ b 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #nww
Cechy podzielności liczb Błyskawiczne reguły sprawdzania, czy liczba dzieli się przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25.
Wzór / Zależność
n dzieli się przez 3 ⟺ ( c k + ⋯ + c 1 + c 0 ) dzieli się przez 3 n \text{ dzieli się przez } 3 \iff (c_k + \dots + c_1 + c_0) \text{ dzieli się przez } 3 n dzieli si ę przez 3 ⟺ ( c k + ⋯ + c 1 + c 0 ) dzieli si ę przez 3 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #cechy-podzielnosci
Liczby pierwsze i złożone Liczby pierwsze mają dokładnie dwa dzielniki (1 i samą siebie). Liczby 0 i 1 NIE są ani pierwsze, ani złożone!
Wzór / Zależność
p ∈ { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , … } p \in \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots\} p ∈ { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , … } 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #liczby-pierwsze-zlozone
Prawa działań na potęgach Wzory na mnożenie, dzielenie i potęgowanie potęg o tych samych podstawach lub wykładnikach.
Wzór / Zależność
a m ⋅ a n = a m + n , a m a n = a m − n , ( a m ) n = a m ⋅ n a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{m \cdot n} a m ⋅ a n = a m + n , a n a m = a m − n , ( a m ) n = a m ⋅ n 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #dzialania-na-potegach-e8
Pierwiastki kwadratowe i sześcienne Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka, włączanie pod pierwiastek i szacowanie wartości.
Wzór / Zależność
a ⋅ b = a ⋅ b , a b = a b \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \quad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} a ⋅ b = a ⋅ b , b a = b a 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #pierwiastki-e8
Procenty i obniżki cen 1% to jedna setna części całości (0,01). Obliczanie procentu liczby, podwyżki i obniżki wielokrotne.
Wzór / Zależność
x nowa = x stara ⋅ ( 1 ± p 100 ) x_{\text{nowa}} = x_{\text{stara}} \cdot \left(1 \pm \frac{p}{100}\right) x nowa = x stara ⋅ ( 1 ± 100 p ) 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #procenty-i-promile
Skala i odległości na mapie Skala 1 : k oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada k cm w rzeczywistości.
Wzór / Zależność
długo s ˊ c ˊ rzeczywista = d mapa ⋅ k \text{długość rzeczywista} = d_{\text{mapa}} \cdot k d ł ugo s ˊ c ˊ rzeczywista = d mapa ⋅ k 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #skala-i-mapa
Planimetria (Geometria płaska)
Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c².
Wzór / Zależność
a 2 + b 2 = c 2 ⟹ c = a 2 + b 2 a^2 + b^2 = c^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2} a 2 + b 2 = c 2 ⟹ c = a 2 + b 2 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #twierdzenie-pitagorasa
Planimetria (Geometria płaska)
Trójkąt równoboczny – wzory na h i Pole Wszystkie boki równe a, wszystkie kąty mają po 60°. Wysokość h = (a√3)/2, Pole P = (a²√3)/4.
Wzór / Zależność
h = a 3 2 , P = a 2 3 4 h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} h = 2 a 3 , P = 4 a 2 3 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #trojkat-rownoboczny-e8
Planimetria (Geometria płaska)
Trójkąty 45°-45°-90° oraz 30°-60°-90° Błyskawiczne obliczanie boków w trójkątach prostokątnych z kątami 45° (połowa kwadratu) lub 30° i 60° (połowa trójkąta równobocznego).
Wzór / Zależność
Kwadrat: d = a 2 , R o ˊ wnoboczny: ( a , a 3 , 2 a ) \text{Kwadrat: } d = a\sqrt{2}, \quad \text{Równoboczny: } (a, a\sqrt{3}, 2a) Kwadrat: d = a 2 , R o ˊ wnoboczny: ( a , a 3 , 2 a ) 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #trojkaty-specjalne
Planimetria (Geometria płaska)
Pola czworokątów (trapez, romb, równoległobok) Najważniejsze wzory na pola czworokątów wymagane na egzaminie ósmoklasisty.
Wzór / Zależność
P trapezu = ( a + b ) ⋅ h 2 , P rombu = e ⋅ f 2 P_{\text{trapezu}} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \quad P_{\text{rombu}} = \frac{e \cdot f}{2} P trapezu = 2 ( a + b ) ⋅ h , P rombu = 2 e ⋅ f 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #pola-czworokatow
Planimetria (Geometria płaska)
Koło i okrąg – pole i obwód Obwód okręgu L = 2πr, pole koła P = πr². Liczba π ≈ 3,14.
Wzór / Zależność
L = 2 π r , P = π r 2 L = 2\pi r, \quad P = \pi r^2 L = 2 π r , P = π r 2 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #kolo-i-okrag-e8
Graniastosłupy – objętość, pole, wierzchołki Bryły o dwóch równoległych i przystających podstawach. V = Pp · H, Pc = 2Pp + Pb.
Wzór / Zależność
V = P p ⋅ H , P c = 2 P p + P b V = P_p \cdot H, \quad P_c = 2P_p + P_b V = P p ⋅ H , P c = 2 P p + P b 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #bryly-graniastoslupy
Ostrosłupy – wzory, objętość, siatki Bryły z jedną podstawą i ścianami bocznymi zbiegającymi się w jednym wierzchołku. V = 1/3 Pp · H.
Wzór / Zależność
V = 1 3 P p ⋅ H , P c = P p + P b V = \frac{1}{3} P_p \cdot H, \quad P_c = P_p + P_b V = 3 1 P p ⋅ H , P c = P p + P b 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #bryly-ostroslupy
Prawdopodobieństwo i statystyka
Prawdopodobieństwo na E8 P(A) = liczba zdarzeń sprzyjających / liczba wszystkich możliwych zdarzeń.
Wzór / Zależność
P ( A ) = ∣ A ∣ ∣ Ω ∣ , 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}, \quad 0 \le P(A) \le 1 P ( A ) = ∣Ω∣ ∣ A ∣ , 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #prawdopodobienstwo-e8
Wartość bezwzględna (równania i nierówności) Odległość liczby od zera na osi liczbowej. Nigdy nie jest ujemna: |x| ≥ 0.
Wzór / Zależność
∣ x − a ∣ = r ⟺ x = a + r ∨ x = a − r |x - a| = r \iff x = a + r \lor x = a - r ∣ x − a ∣ = r ⟺ x = a + r ∨ x = a − r 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #wartosc-bezwzgledna
Logarytmy i ich własności Wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać b: log_a b = c ⇔ a^c = b.
Wzór / Zależność
log a x + log a y = log a ( x ⋅ y ) , log a x − log a y = log a ( x y ) \log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y), \quad \log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right) log a x + log a y = log a ( x ⋅ y ) , log a x − log a y = log a ( y x ) 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #logarytmy-wlasnosci
Wzory skróconego mnożenia Wzory na kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnicę kwadratów oraz sześciany sumy i różnicy.
Wzór / Zależność
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 , a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2, \quad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 , a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #wzory-skroconego-mnozenia
Funkcja liniowa i warunki prostych Wzór ogólny f(x) = ax + b. Równoległość: a1 = a2. Prostopadłość: a1 · a2 = -1.
Wzór / Zależność
y = a x + b , k ∥ l ⟺ a 1 = a 2 , k ⊥ l ⟺ a 1 ⋅ a 2 = − 1 y = ax + b, \quad k \parallel l \iff a_1 = a_2, \quad k \perp l \iff a_1 \cdot a_2 = -1 y = a x + b , k ∥ l ⟺ a 1 = a 2 , k ⊥ l ⟺ a 1 ⋅ a 2 = − 1 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #funkcja-liniowa
Funkcja kwadratowa i wyróżnik Δ (Delta) Postać ogólna f(x) = ax² + bx + c. Wyróżnik Δ = b² - 4ac. Wierzchołek W = (p, q).
Wzór / Zależność
Δ = b 2 − 4 a c , p = − b 2 a , q = − Δ 4 a \Delta = b^2 - 4ac, \quad p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a} Δ = b 2 − 4 a c , p = − 2 a b , q = − 4 a Δ 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #delta-i-funkcja-kwadratowa
Ciąg arytmetyczny Stała różnica r między kolejnymi wyrazami: a_{n+1} - a_n = r. Wzór ogólny i suma n wyrazów.
Wzór / Zależność
a n = a 1 + ( n − 1 ) r , S n = a 1 + a n 2 ⋅ n , 2 a 2 = a 1 + a 3 a_n = a_1 + (n - 1)r, \quad S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n, \quad 2a_2 = a_1 + a_3 a n = a 1 + ( n − 1 ) r , S n = 2 a 1 + a n ⋅ n , 2 a 2 = a 1 + a 3 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #ciag-arytmetyczny
Ciąg geometryczny Stały iloraz q: a_{n+1} / a_n = q. Wzór ogólny a_n = a1 · q^{n-1} oraz suma Sn.
Wzór / Zależność
a n = a 1 ⋅ q n − 1 , a 2 2 = a 1 ⋅ a 3 , S n = a 1 1 − q n 1 − q a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, \quad a_2^2 = a_1 \cdot a_3, \quad S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} a n = a 1 ⋅ q n − 1 , a 2 2 = a 1 ⋅ a 3 , S n = a 1 1 − q 1 − q n 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #ciag-geometryczny
Trygonometria – jedynka i tożsamości Jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1, definicje w trójkącie prostokątnym i wzory redukcyjne.
Wzór / Zależność
sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = sin α cos α \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = cos α sin α 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #trygonometria-matura
Planimetria (Geometria płaska)
Twierdzenie cosinusów i twierdzenie sinusów Twierdzenie cosinusów (uogólniony Pitagoras): c² = a² + b² - 2ab cos γ. Twierdzenie sinusów: a/sin α = 2R.
Wzór / Zależność
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ , a sin α = 2 R , P = 1 2 a b sin γ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma, \quad \frac{a}{\sin\alpha} = 2R, \quad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos γ , sin α a = 2 R , P = 2 1 ab sin γ 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #twierdzenie-cosinusow-i-sinusow
Geometria analityczna – odległość, środek i okrąg Wzory na długość odcinka, współrzędne środka odcinka oraz równanie okręgu (x-a)² + (y-b)² = r².
Wzór / Zależność
∣ A B ∣ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 , ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, \quad (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ∣ A B ∣ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 , ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #geometria-analityczna-matura
Prawdopodobieństwo i statystyka
Kombinatoryka – reguła mnożenia i kombinacje Reguła mnożenia przy wyborach niezależnych, silnia n! oraz symbol Newtona (dwumianowy).
Wzór / Zależność
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! , P n = n ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}, \quad P_n = n! ( k n ) = k ! ( n − k )! n ! , P n = n ! 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #kombinatoryka-matura
Prawdopodobieństwo i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa – model klasyczny P(A) = |A| / |Ω|. Własności prawdopodobieństwa: P(A') = 1 - P(A) oraz suma P(A ∪ B).
Wzór / Zależność
P ( A ) = ∣ A ∣ ∣ Ω ∣ , P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}, \quad P(A') = 1 - P(A), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) P ( A ) = ∣Ω∣ ∣ A ∣ , P ( A ′ ) = 1 − P ( A ) , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #prawdopodobienstwo-matura
Rachunek różniczkowy i optymalizacja
Zadania optymalizacyjne i pochodna Zadanie za 4-5 pkt na maturze! Wyznaczanie funkcji jednej zmiennej, dziedziny oraz ekstremum.
Wzór / Zależność
f ′ ( x ) = 0 ⟹ x 0 (punkt podejrzany o ekstremum) , x W = − b 2 a f'(x) = 0 \implies x_0 \text{ (punkt podejrzany o ekstremum)}, \quad x_W = -\frac{b}{2a} f ′ ( x ) = 0 ⟹ x 0 (punkt podejrzany o ekstremum) , x W = − 2 a b 📋 Kopiuj Rozwiń wyjaśnienie i przykład ▼ #optymalizacja-pochodna
