Temat 1.10Zadanie z pułapką (Zaawansowane)~25 minut nauki

Logarytmy i ich własności

Absolutny pewniak maturalny każdego roku! Zrozumiesz logarytm jako pytanie o wykładnik potęgi, opanujesz 3 główne wzory z karty CKE oraz nauczysz się wyznaczać dziedzinę.

Przejdź do:Kluczowe wzory CKE Teoria krok po kroku Pułapki egzaminacyjne Zadania maturalne (2)

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Definicja logarytmuKarta CKE str. 2

\log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0, \; a \neq 1, \; b > 0

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi $c$ muszę podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ ?

Logarytm iloczynu i ilorazuKarta CKE str. 2

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y

Suma logarytmów to logarytm iloczynu, a różnica to iloraz.

Logarytm potęgiKarta CKE str. 2

\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x

Wykładnik potęgi liczby logarytmowanej wyrzucamy przed znak logarytmu.

Teoria i metodyka krok po kroku

Intuicja: Jak czytać logarytm?

Zapis

\log_a b

czytamy: *do jakiej potęgi podnieść

a

, żeby wyszło

b

?* Przykłady: -

\log_2 8 = 3

, bo

2^3 = 8

\log_3 81 = 4

, bo

3^4 = 81

\log_5 \frac{1}{25} = -2

, bo

5^{-2} = \frac{1}{25}

\log_{10} 1000 = 3

(często zapisywany po prostu jako

\log 1000

)

Zwijanie sumy i różnicy logarytmów

Typowe zadanie maturalne polega na zwinięciu dwóch logarytmów, których nie da się policzyć w pamięci osobno:

\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = 2

\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{48}{3}\right) = \log_2 16 = 4

Założenia istnienia logarytmu (dziedzina)

Podstawa

a

i liczba logarytmowana

b

muszą spełniać 3 żelazne warunki: 1.

a > 0

a \neq 1

b > 0

Nie istnieje logarytm z zera ani z liczb ujemnych!

Wskazówka od uczniów: Pamiętaj: jeśli przed logarytmem stoi współczynnik, np.

2\log_3 x

, to zanim zwiniesz sumę lub różnicę, musisz wciągnąć dwójkę do wykładnika:

\log_3(x^2)

Uwaga na pułapki maturalne CKE

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

!
NIGDY nie rozbijaj logarytmu z sumy: $\log(x + y) \neq \log x + \log y$ . Wzór działa w drugą stronę: suma logarytmów to logarytm iloczynu!
!
Nie zapominaj o założeniu $a \neq 1$ . Podstawa logarytmu nigdy nie może wynosić 1.