ZrozuMatme.pl
Postęp:0 / 37
Główna/Arkusze CKE/Maj 2026 (Podstawa)
Formuła 2023Symbol: MMAP-P0-100-2605Oficjalny arkusz CKEOdpowiedzi zgodne z oryginalnym PDF

Egzamin Maturalny CKE – Maj 2026 (Poziom Podstawowy)

Oficjalny arkusz egzaminacyjny CKE z maja 2026 r. (Formuła 2023). Zawiera 33 zadania (37 osobno ocenianych części) obejmujące liczby rzeczywiste, algebrę, funkcje, ciągi, planimetrię, geometrię analityczną, stereometrię i rachunek prawdopodobieństwa wraz z pełnym oficjalnym kluczem oceniania CKE.

⏱️ Czas: 180 minut🎯 Punkty: 50 pkt📋 Zadania: 37 zadań🎓 Próg zdawalności: 30% (15 pkt)
Oryginalny Arkusz PDFOficjalny Klucz CKE PDF
1

Zadanie 1.0–1 pkt

Liczby rzeczywiste i potęgi
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 258⋅2+2−1\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1} jest równa
2

Zadanie 2.0–1 pkt

Procent składany i lokaty
Klient wpłacił do banku 10 000 zł10\,000\text{ zł} na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6%6\% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
3

Zadanie 3.0–1 pkt

Potęgi i pierwiastki
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 55\sqrt{5\sqrt{5}} jest równa
4

Zadanie 4.0–1 pkt

Logarytmy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log⁡84−log⁡832\log_8 4 - \log_8 32 jest równa
5

Zadanie 5.0–1 pkt

Własności potęg i podzielność
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1.Liczba naturalna 412⋅5244^{12} \cdot 5^{24} jest podzielna przez 2020.
2.Liczba naturalna 412⋅5244^{12} \cdot 5^{24} jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.
6

Zadanie 6.0–1 pkt

Wzory skróconego mnożenia
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia x2+10x+25x^2 + 10x + 25 dla x=2−5x = \sqrt{2} - 5 jest równa
7

Zadanie 7.0–2 punkty

Dowodzenie podzielności liczb całkowitych
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba 7n2+21n7n^2 + 21n jest podzielna przez 1414.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
8

Zadanie 8.0–1 pkt

Równania wielomianowe w postaci iloczynowej
Dane jest równanie 3(x+3)(x−m)(2x+4)=03(x + 3)(x - m)(2x + 4) = 0, gdzie xx jest niewiadomą, natomiast mm jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 00. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba mm jest równa
9

Zadanie 9.0–1 pkt

Równania wymierne
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem równania x+23x−1=25\frac{x + 2}{3x - 1} = \frac{2}{5} jest liczba
10

Zadanie 10.0–2 punkty

Nierówności kwadratowe
Rozwiąż nierówność 3x2+4x≥6x+83x^2 + 4x \ge 6x + 8. Zapisz obliczenia.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
11

Zadanie 11.0–2 punkty

Zadania tekstowe i układy równań
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika: • Bilet normalny: 35 zł35\text{ zł} • Bilet ulgowy: 25 zł25\text{ zł} Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25%25\% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł4665\text{ zł}. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
12

Zadanie 12.1.0–2 punkty

Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Funkcja ff jest określona wzorem: f(x)={x+2dla x∈[−4,2]−x+5dla x∈(2,5)f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 5) \end{cases} Wykres funkcji y=f(x)y = f(x) składa się z dwóch odcinków. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby: 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3f(x) = 3 jest liczba: ……… 2. Największa wartość funkcji ff w przedziale [2,3][2, 3] jest równa: ………
Rysunek do Zadania 12: Wykres funkcji $y = f(x)$
xy0-4-22543-2y = f(x)
13

Zadanie 12.2.0–2 punkty

Zbiór wartości i nierówności funkcyjne
Funkcja ff jest określona wzorem z Zadania 12. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały: 1. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział: ……………… 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości większe od 11, jest przedział: ………………
Rysunek do Zadania 12: Wykres funkcji $y = f(x)$
xy0-4-22543-2y = f(x)
14

Zadanie 13.1.0–1 pkt

Funkcja liniowa i współczynniki
Funkcja liniowa ff jest określona wzorem f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Wykres funkcji ff przecina osie układu w punktach o współrzędnych całkowitych (−2,0)(-2, 0) oraz (0,−3)(0, -3).
Rysunek do Zadania 13: Wykres funkcji $f(x) = ax + b$ i kąt $\alpha$
xy0(-2, 0)(0, -3)α
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1.Współczynnik aa we wzorze funkcji ff jest liczbą dodatnią.
2.Współczynnik bb we wzorze funkcji ff jest liczbą dodatnią.
15

Zadanie 13.2.0–1 pkt

Współczynnik kierunkowy a tangens
Wykres funkcji liniowej ff nachylony jest do osi OxOx pod kątem o mierze α\alpha i przechodzi przez punkty (−2,0)(-2, 0) oraz (0,−3)(0, -3).
Rysunek do Zadania 13: Wykres funkcji $f(x) = ax + b$ i kąt $\alpha$
xy0(-2, 0)(0, -3)α
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta o mierze α\alpha jest równy
16

Zadanie 14.0–4 punkty

Funkcja kwadratowa – postać kanoniczna i ogólna
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) wykresem funkcji kwadratowej ff jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(3,−2)W = (3, -2). Funkcja kwadratowa gg jest określona za pomocą funkcji ff wzorem g(x)=f(x+1)g(x) = f(x + 1). Jednym z miejsc zerowych funkcji gg jest liczba 00. Wyznacz wzór funkcji ff w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 4 pkt
17

Zadanie 15.0–3 punkty

Ciągi arytmetyczne i geometryczne
Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=3n+5a_n = 3n + 5 dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1. Trzywyrazowy ciąg (a1,a9,ak)(a_1, a_9, a_k) jest geometryczny. Oblicz kk. Zapisz obliczenia.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 3 pkt
18

Zadanie 16.0–1 pkt

Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1. W tym ciągu a1=1a_1 = 1 oraz a5=17a_5 = 17. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziewiąty wyraz ciągu (an)(a_n) jest równy
19

Zadanie 17.0–1 pkt

Ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a3⋅a6=18a_3 \cdot a_6 = 18. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu: Iloczyn a2⋅a7a_2 \cdot a_7 jest równy: ………
20

Zadanie 18.0–1 pkt

Trygonometria w trójkącie prostokątnym
Dany jest trójkąt prostokątny ABCABC, w którym bok ACAC jest przeciwprostokątną oraz ∣BC∣=2|BC| = 2 i ∣AC∣=210|AC| = 2\sqrt{10}. Oznaczmy kąt BCABCA przez γ\gamma.
Rysunek do Zadania 18: Trójkąt prostokątny $ABC$
CBA|BC| = 2|AC| = 2√10γ
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta γ\gamma jest równy
21

Zadanie 19.0–1 pkt

Kąty w okręgu
Punkty A,B,CA, B, C oraz DD leżą na okręgu o środku w punkcie OO. Punkt BB leży na krótszym łuku ACAC. Kąt wpisany CDACDA ma miarę 50∘50^\circ, a kąt środkowy COBCOB ma miarę 30∘30^\circ.
Rysunek do Zadania 19: Okrąg i kąty środkowe / wpisane
OABCD50°30°
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BOABOA jest równa
22

Zadanie 20.0–1 pkt

Podobieństwo trójkątów i twierdzenie Talesa
Na płaszczyźnie dane są proste równoległe k∥lk \parallel l. Proste przecinające się w punkcie OO wyznaczają punkty A,CA, C na prostej mm oraz D,BD, B na prostej nn. Wiadomo, że ∣OA∣=12|OA| = 12, ∣OB∣=6|OB| = 6 oraz ∣OC∣=8|OC| = 8.
Rysunek do Zadania 20: Proste równoległe $k \parallel l$ i twierdzenie Talesa
klADOBC1286?
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek ODOD ma długość
23

Zadanie 21.0–2 punkty

Planimetria – dowodzenie
Dany jest trójkąt KLMKLM, w którym ∣KM∣=a|KM| = a oraz ∣LM∣=b|LM| = b. Dwusieczna kąta LMKLMK przecina bok KLKL w punkcie NN. Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNMKNM do pola trójkąta NLMNLM jest równy ab\frac{a}{b}.
Rysunek do Zadania 21: Dwusieczna kąta w trójkącie $KLM$
KLMNab
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
24

Zadanie 22.0–1 pkt

Trójkąt równoboczny i okrąg opisany
W okrąg O\mathcal{O} o promieniu 939\sqrt{3} wpisano trójkąt równoboczny T\mathcal{T}. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę: Bok trójkąta T\mathcal{T} ma długość: ………
25

Zadanie 23.0–1 pkt

Tożsamości trygonometryczne
Kąt α\alpha jest ostry i spełnia warunek 3sin⁡α+4cos⁡α4cos⁡α=6\frac{3\sin \alpha + 4\cos \alpha}{4\cos \alpha} = 6. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α\alpha jest równy
26

Zadanie 24.1.0–1 pkt

Geometria analityczna – pole trójkąta
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty A=(0,−3)A = (0, -3), B=(2,1)B = (2, 1) oraz C=(0,2)C = (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Rysunek do Zadania 24: Trójkąt prostokątny $ABC$ w układzie współrzędnych
xyA(0,-3)B(2,1)C(0,2)S(0, -0.5)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABCABC jest równe
27

Zadanie 24.2.0–1 pkt

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
Punkty A=(0,−3)A = (0, -3), B=(2,1)B = (2, 1) oraz C=(0,2)C = (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABCABC.
Rysunek do Zadania 24: Trójkąt prostokątny $ABC$ w układzie współrzędnych
xyA(0,-3)B(2,1)C(0,2)S(0, -0.5)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABCABC ma współrzędne
28

Zadanie 25.0–1 pkt

Równanie okręgu na płaszczyźnie
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) dany jest okrąg O\mathcal{O} o środku w punkcie S=(1,−3)S = (1, -3) i o promieniu 55. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1.Punkt A=(4,−7)A = (4, -7) leży na okręgu O\mathcal{O}.
2.Okrąg O\mathcal{O} jest określony równaniem (x−1)2+(y+3)2=5(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5.
29

Zadanie 26.0–1 pkt

Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) dana jest prosta kk o równaniu y=−13x+2y = -\frac{1}{3}x + 2. Prosta ll jest równoległa do prostej kk i przechodzi przez punkt (2,−2)(2, -2). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta ll przecina oś OyOy w punkcie
30

Zadanie 27.0–2 punkty

Stereometria – ostrosłup prawidłowy czworokątny
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 838\sqrt{3}. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘30^\circ. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rysunek do Zadania 27: Ostrosłup prawidłowy czworokątny
OH30°d/2 = 4√3
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
31

Zadanie 28.0–1 pkt

Stereometria – bryły obrotowe
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy
32

Zadanie 29.0–1 pkt

Kombinatoryka – reguła mnożenia
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,1,2,3,4,5,60, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np. 321,555321, 555), jest
33

Zadanie 30.0–2 punkty

Rachunek prawdopodobieństwa
Dane są dwa zbiory cyfr: X={1,3,5,7,9}X = \{1, 3, 5, 7, 9\} oraz Y={0,2,4,6,8}Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru XX, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru YY. Następnie tworzymy liczbę dwucyfrową tak, że cyfra wylosowana z XX jest cyfrą dziesiątek, a cyfra z YY jest cyfrą jedności. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 66. Zapisz obliczenia.
Zadanie otwarte – rozwiąż na kartce lub w brudnopisie, a następnie sprawdź oficjalne kryteria CKE.
Oceń swoje rozwiązanie według kryteriów punktacji CKE:Pełne kryteria CKE (PDF)
z 2 pkt
34

Zadanie 31.0–1 pkt

Statystyka – średnia arytmetyczna i mediana
Nauczyciel matematyki porównał wyniki sprawdzianu ze statystyki w dwóch klasach: IV A oraz IV B. Oceny (od 1 do 6) w obu klasach rozkładają się symetrycznie względem oceny 3,53{,}5.
Rysunek do Zadania 31: Rozkład ocen w klasach IV A i IV B
Klasa IV A123456
Klasa IV B123456
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1.Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
2.Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
35

Zadanie 32.0–1 pkt

Statystyka – średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna trzech liczb: a,b,ca, b, c jest równa 22. Średnia arytmetyczna czterech liczb: d,e,f,gd, e, f, g jest równa 5,55{,}5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: a,b,c,d,e,f,ga, b, c, d, e, f, g jest równa
36

Zadanie 33.1.0–1 pkt

Funkcja kwadratowa w fizyce i zadaniach praktycznych
W chwili t=0t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Wysokość hh, na której znajduje się piłeczka w chwili tt, jest określona wzorem h(t)=−4,9t2+14,7th(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t, gdzie tt to czas w sekundach. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili
37

Zadanie 33.2.0–1 pkt

Wierzchołek paraboli – optymalizacja
Wysokość piłeczki określa funkcja h(t)=−4,9t2+14,7th(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

Lista zadań (37)

Zrobione: 0 / 37
Do zrobieniaZaznaczonePoprawneBłędne
Wskazówki egzaminacyjne ZrozuMatme.pl
  • Odpowiedzi: Litery oznaczają te same odpowiedzi co w PDF. W treningu możesz przetasować kolejność opcji.
  • Punkty bez spoilerów: Twój wynik nie jest pokazywany od razu – zaznacz odpowiedzi, a następnie kliknij "Sprawdź odpowiedź".
  • Zadania otwarte: Po zakończeniu egzaminu porównaj rozwiązanie z kluczem i przyznaj sobie punkty. Wynik zaktualizuje się automatycznie.