Temat 1.5Standard CKE (Średnie)~25 minut nauki

Pierwiastek kwadratowy i usuwanie niewymierności

Poznasz kluczowe tożsamości pierwiastkowe, unikniesz pułapki $\sqrt{x^2} = x$ i nauczysz się usuwać pierwiastki z mianownika za pomocą sprzężenia.

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Pierwiastek iloczynuKarta CKE str. 2

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \quad a \ge 0, b \ge 0

Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Wartość bezwzględna a pierwiastekKarta CKE str. 2

\sqrt{a^2} = |a|

Kluczowa tożsamość: pierwiastek kwadratowy z kwadratu daje moduł liczby!

Usuwanie niewymierności (sprzężenie)

\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}

Mnożymy licznik i mianownik przez sumę pierwiastków korzystając z $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ .

Aby uprościć pierwiastek, rozkładamy liczbę podpierwiastkową na iloczyn, w którym jeden z czynników jest kwadratem liczby naturalnej:

\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}

Bardzo częsty błąd polega na automatycznym pisaniu

\sqrt{x^2} = x

. Z definicji pierwiastek arytmetyczny jest zawsze liczbą nieujemną! Przykładowo dla

x = -5

\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|

Jeśli mamy do policzenia

\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}

, to zauważmy, że

2 - \sqrt{5} < 0

(bo

2 = \sqrt{4} < \sqrt{5}

). Zatem:

\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2

Wskazówka od uczniów: Zawsze sprawdzaj znak wyrażenia pod kwadratem przed opuszczeniem pierwiastka!

Jeżeli w mianowniku występuje różnica lub suma z pierwiastkiem, stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

\frac{6}{3 - \sqrt{3}} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6} = 3 + \sqrt{3}

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

!
NIGDY nie rozdzielaj pierwiastka z sumy! $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Zauważ, że $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , podczas gdy $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .
!
Pod pierwiastkiem parzystego stopnia NIE może stać liczba ujemna.

Sprawdź swoją wiedzę

1 zadanie z wyjaśnieniem

Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.

CKE Maj 2023 (Formuła 2023)Standard maturalny (Średnie)

Karta CKE: Wartość bezwzględna i pierwiastki1 punkt

Wartość wyrażenia

\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} + \sqrt{10}

jest równa: