Temat 1.3Standard CKE (Średnie)~20 minut nauki

Liczby niewymierne

Dowiesz się, dlaczego pewnych liczb nie da się zapisać ułamkiem zwykłym, jak przeprowadzić klasyczny dowód niewprost oraz jak bezbłędnie szacować wartości na osi liczbowej.

Przejdź do:Kluczowe wzory CKE Teoria krok po kroku Pułapki egzaminacyjne Zadania maturalne (1)

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Liczba niewymierna

x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

Liczba, której nie można przedstawić w postaci ułamka $\frac{p}{q}$ o liczniku i mianowniku całkowitym.

Suma wymiernej i niewymiernej

w \in \mathbb{Q}, \; x \in \mathbb{IQ} \implies w + x \in \mathbb{IQ}

Dodanie liczby wymiernej do niewymiernej zawsze daje liczbę niewymierną.

Teoria i metodyka krok po kroku

Co to jest liczba niewymierna?

Liczby niewymierne to liczby rzeczywiste, które mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i **nieokresowe**. Najbardziej znanymi przykładami liczb niewymiernych są: - Pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami liczb wymiernych:

\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt[3]{4}

- Liczba

\pi \approx 3{,}14159\dots

- Liczba Eulera

e \approx 2{,}71828\dots

Klasyczny dowód niewymierności $\sqrt{2}$ (metoda nie wprost)

Załóżmy przeciwnie, że

\sqrt{2}

jest liczbą wymierną, czyli można ją zapisać w postaci nieskracalnego ułamka

\frac{p}{q}

, gdzie

p, q \in \mathbb{N}, q > 0

oraz

\text{NWD}(p, q) = 1

. Podnosząc obie strony do kwadratu:

2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2

Stąd

p^2

jest liczbą parzystą, a więc i

p

musi być parzyste (

p = 2k

). Podstawiając:

(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2

Stąd

q^2

(a więc i

q

) także jest parzyste. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że ułamek

\frac{p}{q}

był nieskracalny! Zatem

\sqrt{2}

jest liczbą niewymierną.

Wskazówka od uczniów: Dowód nie wprost jest ulubionym typem zadań dowodowych na maturze rozszerzonej!

Uwaga na pułapki maturalne CKE

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

!
Suma dwóch liczb niewymiernych NIE MUSI być niewymierna! Przykład: $(2 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 7$ , co jest liczbą wymierną.
!
Iloczyn dwóch liczb niewymiernych również MOŻE być wymierny! Przykład: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ .

Sprawdź swoją wiedzę

Zadania maturalne z tego tematu

1 zadanie z wyjaśnieniem

Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.

Matura próbna CKEPewniak maturalny (Łatwe)

Wzory skróconego mnożenia CKE str. 31 punkt

Wskaż liczbę, która jest liczbą WYMIERNĄ spośród podanych poniżej:

Poprzednia lekcja1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne

Wróć do spisu działów

Następna lekcja1.4 Rozwinięcie dziesiętne i zaokrąglenia