Temat 1.2Pewniak maturalny (Podstawa)~20 minut nauki

Liczby całkowite i liczby wymierne

Opanujesz precyzyjne rachunki na ułamkach zwykłych, zamianę liczb mieszanych, skracanie ułamków do postaci nieskracalnej oraz hierarchię zbiorów liczbowych.

Przejdź do:Kluczowe wzory CKE Teoria krok po kroku Pułapki egzaminacyjne Zadania maturalne (1)

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Dodawanie i odejmowanie ułamków

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}, \quad b, d \neq 0

Wspólny mianownik uzyskujemy najszybciej mnożąc mianowniki lub znajdując ich NWW.

Dzielenie ułamków

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}, \quad b, c, d \neq 0

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Teoria i metodyka krok po kroku

Klasyfikacja zbiorów liczbowych

Zbiory liczbowe tworzą naturalną hierarchię zawierania:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

\mathbb{N}

— liczby naturalne:

\{0, 1, 2, \dots\}

\mathbb{Z}

— liczby całkowite:

\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}

\mathbb{Q}

— liczby wymierne, czyli wszystkie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka

\frac{a}{b}

, gdzie

a, b \in \mathbb{Z}

oraz

b \neq 0

. -

\mathbb{R}

— liczby rzeczywiste (obejmujące liczby wymierne i niewymierne).

Ułamki nieskracalne i wspólny mianownik

Ułamek

\frac{a}{b}

nazywamy nieskracalnym, gdy

\text{NWD}(|a|, |b|) = 1

(czyli licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi). Podczas dodawania i odejmowania ułamków najlepszym wspólnym mianownikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) ich mianowników.

Działanie na ułamkach z różnymi mianownikami

Oblicz wartość wyrażenia:

\frac{5}{12} - \frac{7}{18}

1. Znajdujemy wspólny mianownik:

\text{NWW}(12, 18) = 36

. 2. Rozszerzamy ułamki:

\frac{5}{12} = \frac{15}{36}, \quad \frac{7}{18} = \frac{14}{36}

3. Odejmujemy liczniki:

\frac{15}{36} - \frac{14}{36} = \frac{1}{36}

Uwaga na pułapki maturalne CKE

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

!
Nigdy nie wolno dzielić przez zero! Mianownik ułamka musi być bezwzględnie różny od zera.
!
Pamiętaj o znaku minusa przed kreską ułamkową: $-\frac{x - 3}{4} = \frac{-(x - 3)}{4} = \frac{-x + 3}{4}$ .
!
Przy dzieleniu ułamków odwracamy DRUGI ułamek (dzielnik), a nie pierwszy.

Sprawdź swoją wiedzę

Zadania maturalne z tego tematu

1 zadanie z wyjaśnieniem

Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.

CKE Maj 2023 (Formuła 2023)Pewniak maturalny (Łatwe)

Kolejność wykonywania działań1 punkt

Wartość wyrażenia

\frac{2}{3} - \frac{5}{6} : \left(-\frac{5}{4}\right)

jest równa:

Poprzednia lekcja1.1 Liczby naturalne i podzielność

Wróć do spisu działów

Następna lekcja1.3 Liczby niewymierne