Temat 1.1Pewniak maturalny (Podstawa)~15 minut nauki
Liczby naturalne i podzielność
Zrozumiesz własności liczb naturalnych, algorytm Euklidesa, rozkład na czynniki pierwsze oraz schematy zadań dowodowych dotyczących podzielności.
Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)
Dzielenie z resztąKarta CKE str. 2
Każdą liczbę naturalną dzieloną przez możemy zapisać za pomocą ilorazu i reszty .
Związek NWD i NWW
Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności jest równy iloczynowi tych liczb.
Teoria i metodyka krok po kroku
1
Zbiór liczb naturalnych i cechy podzielności
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem .
Cechy podzielności pozwalają natychmiast stwierdzić, czy dana liczba dzieli się przez inną bez konieczności wykonywania długiego dzielenia:
- **Przez 2**: ostatnia cyfra jest parzysta ().
- **Przez 3**: suma wszystkich cyfr liczby jest podzielna przez .
- **Przez 4**: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez (np. , bo dzieli się przez ).
- **Przez 5**: ostatnią cyfrą jest lub .
- **Przez 9**: suma wszystkich cyfr liczby jest podzielna przez .
- **Przez 10**: ostatnią cyfrą jest .
Przykład: Sprawdzenie podzielności
Czy liczba jest podzielna przez oraz przez ?
Obliczamy sumę cyfr: .
Ponieważ dzieli się przez (), liczba jest podzielna przez .
Ponieważ dzieli się również przez (), liczba jest podzielna przez .
2
Liczby pierwsze i liczby złożone
**Liczba pierwsza** to liczba naturalna większa od , która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: oraz samą siebie.
Początkowe liczby pierwsze to:
**Liczba złożona** to liczba naturalna większa od , która ma więcej niż dwa dzielniki (np. ).
Każdą liczbę złożoną można w sposób jednoznaczny przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych (tzw. podstawowe twierdzenie arytmetyki).
Wskazówka od uczniów: Uwaga na pułapkę: liczby 0 oraz 1 NIE są ani pierwsze, ani złożone! Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2.
3
Dzielenie z resztą i zapis algebraiczny
Jeżeli liczba przy dzieleniu przez daje resztę , to możemy zapisać ją algebraicznie w postaci:
Zapis ten jest kluczem do rozwiązywania maturalnych zadań na dowodzenie podzielności.
Uwaga na pułapki maturalne CKE
Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:
- !Liczba 1 NIE jest liczbą pierwszą! Liczba pierwsza musi mieć dokładnie dwa różne dzielniki naturalne.
- !Reszta z dzielenia przez musi spełniać warunek . Reszta nie może być ujemna ani większa lub równa dzielnikowi.
- !Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest liczba 2. Wszystkie pozostałe liczby parzyste są złożone.
Sprawdź swoją wiedzę
2 zadania z wyjaśnieniemZadania maturalne z tego tematu
Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.
Zadanie maturalne CKE (poziom podstawowy)Pewniak maturalny (Łatwe)
Karta wzorów CKE: strona 2 (Liczby rzeczywiste)1 punkt
Liczba naturalna przy dzieleniu przez daje resztę . Reszta z dzielenia liczby przez jest równa:
Zadanie treningowe CKEStandard maturalny (Średnie)
Algorytm rozkładu na czynniki pierwsze1 punkt
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb i jest równa: