ZrozuMatme.pl
Temat 1.13Zadanie z pułapką (Zaawansowane)~30 minut nauki

Repetytorium i pewniaki maturalne CKE

Kompleksowy przegląd typowych zadań maturalnych z całego działu Liczby Rzeczywiste. Nauczysz się konstruować eleganckie dowody podzielności i eliminować błędne odpowiedzi.

Przejdź do:Kluczowe wzory CKETeoria krok po krokuPułapki egzaminacyjneZadania maturalne (1)

Kluczowe wzory maturalne (Wzornik CKE)

Iloczyn trzech kolejnych liczb
n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1)

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych przynajmniej jedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna przez 3, więc ich iloczyn dzieli się przez 6.

Teoria i metodyka krok po kroku

1

Dowodzenie podzielności – żelazny standard CKE

W zadaniach dowodowych na maturze kluczem jest rozłożenie wyrażenia na czynniki: **Twierdzenie**: Dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1, liczba n3−nn^3 - n jest podzielna przez 66. **Dowód**: 1. Wyłączamy nn przed nawias: n(n2−1)n(n^2 - 1). 2. Stosujemy wzór skróconego mnożenia: (n−1)⋅n⋅(n+1)(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1). 3. Wyrażenie przedstawia iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. 4. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych: - Przynajmniej jedna jest parzysta (podzielna przez 22). - Dokładnie jedna jest podzielna przez 33. 5. Ponieważ liczby 22 i 33 są względnie pierwsze, cały iloczyn jest podzielny przez 2⋅3=62 \cdot 3 = 6. Co kończy dowód.

Uwaga na pułapki maturalne CKE

Na tych detalach maturzyści każdego roku tracą cenne punkty. Zapamiętaj:

  • !
    W zadaniach dowodowych nie wystarczy sprawdzić tezy dla kilku liczb (np. n=1,2,3n = 1, 2, 3). Sprawdzenie na przykładach NIE jest dowodem matematycznym!
Sprawdź swoją wiedzę

Zadania maturalne z tego tematu

1 zadanie z wyjaśnieniem

Wybierz odpowiedź, a w razie trudności skorzystaj z podpowiedzi. Po sprawdzeniu poznasz pełne rozwiązanie krok po kroku.

CKE Maj 2023 • Zadanie otwarte (Formuła 2023)Zadanie z pułapką (Trudne)
2 punkty
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1, liczba 7n+2−7n7^{n+2} - 7^n jest podzielna przez 4848. Wskaż poprawny rozkład tego wyrażenia na czynniki:
Poprzednia lekcja1.12 Punkty procentowe i obliczenia praktyczne
Wróć do spisu działów
Następna lekcja2.1 Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia